(Continuação daqui)
Entremos agora na geometria. Vamos construir rectângulos, a partir de quadrados com lados iguais à sucessão de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Como se vê na figura, cada rectângulo é construído juntando um novo quadrado aos já existentes. Construindo rectângulos deste modo, à medida que o tamanho aumenta, a razão entre os lados menores e maiores aproxima-se da razão de ouro. A um rectângulo com esta proporção entre os lados chama-se rectângulo dourado.
Podemos depois traçar um quarto de circunferência em cada quadrado de modo a construir uma espiral. Esta espiral não é uma espiral verdadeira, uma vez que a sua curvatura não vai variando progressivamente. Matematicamente chama-se espiral equiangular ou logarítmica, mas é geralmente conhecida por espiral dourada.
Esta espiral é do tipo das já mencionadas anteriormente no girassol, nas pinhas e no nautilus, mas não só. As presas, as garras e a maioria dos cornos dos animais, os caracóis, o ADN, os tornados, as impressões digitais, o modo como se comportam os líquidos e gases com diferentes densidades também são, basicamente, espirais douradas. Até as galáxias têm braços de estrelas que se estendem em gigantescas espirais equiangulares.
Mas voltemos ao rectângulo dourado. Este já era conhecido na antiguidade, séculos antes de Fibonacci, e os gregos chamavam-lhe até a proporção divina. Apesar de nessa altura não compreenderem a sua base matemática, sabiam que a arte baseada nesse rectângulo era bastante agradável à vista. Grande parte dos rectângulos que encontramos no nosso dia-a-dia (bandeiras, jornais, livros, janelas, fotografias, cartões de crédito, etc.) são rectângulos dourados, ou aproximações. A construção do Parténon foi também baseada nessa proporção e em vários rectângulos dourados. 
É claro que a razão de ouro não tinha então relação com Fibonacci. Era simplesmente uma proporção: o ponto que dividia um segmento de recta em duas partes, tais que a razão entre a mais pequena e a maior era exactamente igual à razão entre a maior e todo o segmento. Se designarmos a parte maior por 1 e a parte menor por x, podemos escrever essa afirmação como
x/1=1/(1 + x)
em que 1 + x representa o comprimento total do segmento de recta. Transformando esta expressão na sua forma quadrática
x² + x – 1 = 0
obtemos a solução x = (√5 - 1)/2 = 0,618 033 989... Exactamente o limite da sucessão de que falei no primeiro post desta série, formada pela razão entre dois termos consecutivos de Fibonacci.
Se considerarmos x como sendo a parte maior, e 1 como a parte menor, temos que x = (√5 + 1)/2 = 1,618 033 989... Este valor é designado actualmente pela letra grega fi (φ), em homenagem ao escultor grego Fídias, que usou muitas vezes esta razão. φ, que é apenas o já falado 0,618 033 989... mais um, tem esta propriedade interessante do ponto de vista matemático: φ² = φ + 1 (o seu quadrado é igual a ele próprio mais uma unidade).
Na realidade, (√5 - 1)/2 e (√5 + 1)/2 são o mesmo em termos geométricos. Representam ambos a mesma proporção. E, se dividirmos qualquer rectângulo dourado num quadrado (a) e num rectângulo (b), este também é dourado, ou seja, mantém a mesma proporção entre os lados.
Outra aproximação geométrica à proporção divina, pode ser feita através dum pentágono regular.
AC/AB = φ (A proporção entre qualquer dos lados e qualquer diagonal é a razão de ouro).
AC/AO = AO/CO = BD/DO = DO/BO = φ (A intersecção de quaisquer duas diagonais define também a razão de ouro).
Se desenharmos todas as diagonais, obtemos uma estrela de cinco pontas ou pentagrama, símbolo da Escola Pitagórica. Se colocarmos o pentagrama num círculo, temos o pentáculo.
Com tantas proporções divinas incorporadas, percebe-se agora porque ao pentagrama e, principalmente ao pentáculo, sempre foram atribuídos significados místicos e esotéricos. Ainda por cima, o cinco é um número de Fibonacci.
No próximo post veremos a relação entre a proporção divina e outras artes, como a pintura e a música (isso mesmo, a música).
(Continua)
Publicado por Fernando @ 23:44Fernando... tenho uma questão que talvez você possa me ajudar a esclarecer...
Havendo "constatações" de PHI em várias plantas, pergunto: Alguém já verificou/comparou estas proporções em alguma planta trangênica?
Afixado por: Jade Pereira em janeiro 21, 2005 06:33 PMESTOU LENDO O CÓDIGO DA VINCI, ESTOU SUPER INTERESSADA POR RAZÃO E PROPORÇÃO...NA VERDADE ESTOU INTERESSADA POR VÁRIOS ASSUNTOS RELECIONADOS Á MATEMÁTICA E RELIGIÃO! ACHO QUE VOU ESTUDAR Á FUNDO ESSES ASSUNTOS. SÃO SUPER LEGAIS....
Afixado por: NAT em dezembro 30, 2004 12:46 AMSaudações!!
Enfim, é um tema deveras impressionante e muito fascinante, por isso resolvi pesquisar sobre este assunto, e cada vez estou mais curioso. Tudo começou após a leitura do inevitável "Código Da Vinci".
Gostaria muito de receber mais informações sobre o este tema e outos do genero...
Um abraço a todos.
isboa, Hugo Proença, 22 anos.
oi sou a claudia gostei mt da pagina e keria k me mandaxes algumas informaçoes sobre o phi.
Afixado por: claudia em novembro 5, 2004 07:31 PMComo alguém que vive no século XXI, com uma grande gama de informação a serviço, consegue ter a audácia de elitizar a "proporção divina", uma coisa totalmente ridícula e descartável? Faça-me o favor. Não estamos mais na idade antiga...
Afixado por: Ignatius em novembro 3, 2004 11:12 PMFernando,
Houve um grande matemático brasileiro (acho eu que o único que deva ser citado), que escreveu livros de matemática para crianças, sempre utilizando seu pseudônimo "Malba Tahan".
Seu primeiro livro, "O Homem que Calculava", até hoje é um livro muito divertido para crianças (e adultos!) tomarem gosto pela matemática.
Em alguns pontos, ele passeia na sequência de Fibonacci, número dourado, etc.
Se este livro cair nas suas mãos, recomendo que o leia.
Um forte abraço,
C. Henrique Calazans
Afixado por: Carlos Henrique Calazans em outubro 23, 2004 02:51 PMVou procurar entender melhor seu ponto de vista,no momento estou adorando que tem maluco por aí usando todo o poder da sua criatividade. Artista é sempre sensível e a matemática é o que mais se aproxima de Deus,da sua perfeição.
Afixado por: Tânia Mara em outubro 20, 2004 07:45 PMOi Fernando
simplesmente exelente. ja li o codigo da vinci e tou a ler alguns livros relacionados com o tema. embora so tenha 14 anos interesso.m mt pelo tema.
aera k poderia enviar-me alguma outra informação sobre estes assuntos.
parabéns
Afixado por: Hugo em outubro 11, 2004 08:26 PMOi Fernando, tudo bem? Estou lendo o "Código Da Vinci" (pelo que percebi todo mundo que leu se interessou pelo assunto) e gostaria de saber um pouco mais sobre o nº PHI, gostaria que vc me enviasse algum material. Realmente fiquei fascinada. Obrigada.
Afixado por: viviane em outubro 8, 2004 12:37 AMCaro Fernando...primeiramente parabéns pelas brilhantes informações que nos passa. Gostaria que me enviasse, caso possivel, algumas referências quanto à proporção divina e o nº PHI ou mesmo sobre a proporção em si e Fibonacci. Estou iniciando um trabalho onde tentarei prova a presença ou não da Proporção Divina em disturbios Crânio-Faciais e/ou Crânio-Caudais, e essa colaboração seria de grande ajuda.
Desde já Agradeço
Daniel
Eu vim aqui pesquisar e vou boptar mais lenha na fogueira. Vc. já leram Catedral de Chartres a Geometria Sagrdo Cosmos. A autora é Sonja Ulrike Klug. Quem gosta de matemática, que não é meu caso, mas gosto de pesquisar, é interessante. Ed.Madras. Já lí e vou reler mais devagar. Eu gostei.
Afixado por: Mariinha em julho 21, 2004 07:53 PMComo se já não bastasse todas essa serie de descobertas sobre um número que poderia ser meramente normal, o nosso corpo também faz parte desta lista de coisas interligadas em um espiral dourado quase que infinito
Quando ir ao banheiro, meça a altura do alto se sua cabeça até o pé, e divida pela altura do umbigo ate o pé... o que terá? PHI. Dentre outras medidas do nosso corpo.
O número 1,816 é no mínimo interessante.
Estou fascinada com a sequência de Fibonacci e com a forma simples como vc a expoõe para nós, leigos. Parabéns. Estou aguardando a próxima continuação.
A propósito, uma perguntinha: como foi mesmo que o Fibonacci "descobriu" essa sequência? Que aplicações ele tirou daí de imediato?
Fátima
Estou ansiosa pelas seqüências... Quando você irá publicá-las?
Estou lendo o Código Da Vinci, e muito me interessa a relação entre a proporção divina e outras artes, como a pintura e a música.
Afixado por: Joyce em maio 3, 2004 09:55 PMQuem quiser saber mais um pouco sobre a "Divina Proporção, ou sobre a "Proporção Áurea", de uma olhada no último livro de Dan Brown: O Código Da Vinci.
A partir da página 103, capítulo 20 ele descreve esta proporção,inclusive citando o número mágico: 1,618 como sendo o número PHI, que é considerado o número mais belo do Universo.
Motivo: apesar das origens matemáticas aparentemente místicas do PHI, foi seu papel como componente básico da Natureza, Plantas, animais e até seres humanos - todos possuem propriedades dimensionais que se encaixam com uma exatidão espantosa à razão de PHI para um.
Ver mais no livro para saber mais...
Boa Sorte aos pesquisadores
Sergio
29-04-2004
eu preciso destrinchar essa formula
Yn+1 = Yn+Yn-1 com Y0=1 e Y1=1, onde Yn o numero de casais adultos(coelhos) no estagio n com N E naturais.
Bn=Yn-1 / Yn -> 1 + raiz 5 / 2
de fato, se Fi = lim n->00 bn> 0.
Oi tudo bem?!
Como uma amiga minha entrou aqui para fazer o trabalho de matematica...acabei entrando tbm!!!
Então queria te pedir, se for possivel...vc poderia me falar o que é divina proporção? por que levou esse nome? e onde é encontrada? Se você puder me ajudar...ficarei muito grata!!!
Abraços...
Gabriella (Gábi)
Gostaria que você me mandasse mais exemplos de divinas proporções encontradas na natureza. Estou precisando para um trabalho escolar. Se puder me ajudar, ficarei muito agradecido
Afixado por: João Pedro Figueiredo em março 31, 2004 06:07 PMGostaria de saber mais sobre divina proporção, pois preciso fazer um trabalho para a aula de matemática, e não estou achando imformações suficientes...
Se puderem me ajudar... ficarei muito grata
obrigada
Gostaria que me disponibilizásse algumas referências bibliográficas relativamente ao número de ouro e as suas diversas aplicações, divina proporção, etc...
Muito grato pela sua atenção
Afixado por: Tiago Vila-Verde em janeiro 17, 2004 01:28 AMOlá Cecília,
começo com a resposta à sua pergunta. Não, não é isso que queria provar. Simplesmente porque não pretendo provar nada. Muito menos algo que já se sabe há séculos. A respeito da minha dedução estar errada, a dedução não é minha nem está errada. Como calculará, não escrevi isto de cor. Consultei livros e informação disponível na Internet. Já não me debruçava sobre estes assuntos há quase vinte anos e precisei de reavivar a memória.
Se reparar bem, a equação que escreveu (a² - a – 1 = 0), é igual a uma das que escrevi (φ² = φ + 1). As soluções dessa equação são, de facto, as duas que menciona. Eu só referi a positiva (√5 + 1)/2 para simplificar, porque é óbvio que a negativa tem que ser desprezada. Quanto à outra equação por mim referida (x² + x – 1 = 0) tem como resultado válido (√5 - 1)/2.
Quando referimos a proporção entre dois valores, podemos considerá-la em relação ao menor ou ao maior. O resultado é diferente, mas representa o mesmo.
Imagine um segmento de recta AB, e C um ponto desse segmento tal que AC está para BC assim como AB está para AC. Se supuser que AC = 1 então BC = 0,618 033... Se supuser que BC = 1 então AC = 1,618 033...
A respeito do número de ouro, a coisa é mais complicada. Para certos autores, é (√5 - 1)/2 = 0, 618 033..., para outros é o número (√5 + 1)/2 = 1, 618 033..., a que chamam φ. Alguns representam até este último valor por Φ (fi maiúsculo), e o outro por φ (fi minúsculo). Como eu já aqui referi e até escrevi no post, isso nem é muito importante, uma vez que falamos de proporções.
Como vê, se calhar, até não andamos assim tanto às avessas. Excepto no que diz respeito ao formato A4. A proporção do A4 é de aproximadamente 1/√2 (ou √2, se preferir). Não é um rectângulo dourado, mas anda lá perto.
Fico contente por continuar a visitar-me.
Afixado por: Fernando em dezembro 4, 2003 01:31 PMCaro Fernando,
Andamos sempre às avessas.
Creio que a sua dedução está errada. Vejamos se não será assim:
(tentei copiar do word mas não consigo, isto não cola)
Faz y/x = a. Dividindo o num. e o denom. da fracção por x, obtem-se a equação: a (ao quadrado) - a -1 = 0.
As soluções desta equação são: (1 + raiz de 5)/2 e (1 - raiz de 5)/2. Vamos desprezar a raiz negativa. Ao valor da positiva, chama-se nº de ouro.
É esta a relação que existe no formato A4, A5,...
Não será isto que queria provar?
Cecília
Afixado por: Cecília em dezembro 3, 2003 11:02 PMFicou mais taralhouco.
Afixado por: João em dezembro 3, 2003 02:05 PMAh, assim já sei quem é. O filho até ficou taralhouco por causa disso, não foi?
Afixado por: Fernando em dezembro 3, 2003 11:27 AMTeresa Guilherme é aquela arqueira que atirou com uma seta à cabeça do filho, Manuel Luís Trouxa. Era para acertar numa maçã, mas uma rabanada (não o petisco culinário, mas de vento) fez com que falhasse o alvo.
Afixado por: João em dezembro 3, 2003 08:56 AMQuem é a Teresa Guilherme?
Afixado por: Fernando em dezembro 3, 2003 05:19 AMÓ rapaz, vai mas é ver a Teresa Guilherme porque estás a ficar culto demais para mim....
Afixado por: Gotinha em dezembro 3, 2003 12:56 AMFico à espera da continuação! é que cada vez me sinto mais ignorante e é bom aprender matemáticas novas...
Afixado por: jacky em dezembro 2, 2003 05:20 PMMais um "matemático" post (ou entrada). Esta série é um verdadeiro serviço público. Parabéns Fernando.
Afixado por: João em dezembro 2, 2003 03:22 PME 5 é o meu número, que surge sobejas vezes na minha vida. Mais um excelente artigo.
Afixado por: Rui em dezembro 2, 2003 11:18 AM