Os números à nossa volta
I - Os coelhos de Fibonacci

No famoso jantar do Bando do Agasalho, prometi ao Rui escrever sobre a relação entre a matemática e as outras ciências, as artes e a natureza.
Este é o primeiro post duma série que pretendo publicar com alguma (ir)regularidade, e que espero desperte alguma curiosidade entre todos os que acham a matemática e os números um bicho de sete cabeças sem interesse nenhum.

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O sistema de numeração indo-árabe foi introduzido na Europa basicamente por publicações de livros que demonstravam as vantagens em relação aos sistemas anteriores. O mais influente desses livros foi Liber Abaci (Livro sobre o cálculo) escrito em 1202 por um matemático italiano, Leonardo de Pisa, que ficou conhecido por Fibonacci (filho de Bonacci).
A utilização da álgebra é ilustrada nesse livro com vários exemplos, que procuram demonstrar a vantagem do método algoritmista em relação ao método abacista, em uso na época. Um dos problemas proposto por Fibonacci, tornou-se extraordinariamente famoso:

Quantos casais de coelhos podem ser produzidos a partir de um único casal durante um ano, se cada casal originar um casal em cada mês, o qual se torne fértil a partir do segundo mês?

Subentende-se que não há mortes durante esse ano e que cada casal é um macho e uma fêmea.
A resposta é dada pela sucessão numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
Ora, verifica-se que, exceptuando os dois primeiros, cada número resulta da soma dos dois anteriores. Podemos definir esta lista como uma sucessão infinita de números (esqueçamos os coelhos a partir de agora), na qual o termo de ordem n, a que chamamos Fn, não é mais do que a soma dos dois termos precedentes Fn-1 e Fn-2.

Um aspecto interessante desta sucessão, tem a ver com o facto de os números mais pequenos aparecerem espalhados pela natureza. Plantas, insectos, flores, são fontes inesgotáveis de números de Fibonacci. Esta particularidade será focada mais tarde.

Voltando à questão puramente matemática. Os números de Fibonacci crescem muito rapidamente.
Por exemplo, F25 = 70 025, F30 = 832 040 e F100 = 354 224 848 179 261 915 075.
Mas, à medida que vão crescendo, vai-se formando um padrão inesperadamente simples. Para percebermos esse padrão, vamos dividir cada número de Fibonacci pelo número seguinte.

1/1 = 1
1/2 = 0,5
2/3 = 0,666 666
3/5 = 0,6
5/8 = 0,625
8/13 = 0,615 385
13/21 = 0,619 048
21/34 = 0,617 647
34/55 = 0,618 182
55/89 = 0,617 978
89/144 = 0,618 056
144/233 = 0,618 026
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Nota-se que, à medida que aumentam os números de Fibonacci, a razão entre eles tende a variar cada vez menos. De facto, estas razões de Fibonacci convergem para o número (√5-1)/2 = 0,618 033 988 749 894 848 204 586 834 366 (a minha calculadora não dá mais casas decimais).
A este número irracional (que não pode ser expresso como uma razão de dois números inteiros) chama-se razão de ouro e parece ser a base matemática de tudo, desde a arquitectura à fotografia, passando pela pintura, pela música, etc.

(Continua aqui)

Publicado por Fernando @ 03:42